1- Etude expérimentale de la charge d’un condensateur par un échelon de tension.

On associe en série un condensateur de capacité c et un conducteur ohmique de résistance R. L'ensemble constitue un dipôle (R, C). On étudie la charge du condensateur lorsque la tension aux bornes du dipôle (R, C) augmente brusquement de 0 à la valeur E. On dit que le dipôle (R, C) est soumis à un échelon de tension.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à P le condensateur se charge en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension u_AB croît. Quand le régime permanent est atteint, la tension u_AB est constante et l’intensité du courant est nulle.

 

La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale. Elle caractérise la rapidité de la charge. On montrera plus loin que t = RC (voir ci-dessous).

2- Etude expérimentale de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.

Lorsqu’on relie l’interrupteur K à D le condensateur, initialement chargé, se décharge à travers la résistance en fonction du temps. Pendant le régime transitoire, la tension u_AB décroît. Quand le régime permanent est atteint (au bout de 4 ou 5 t), la tension u_AB devient quasi constante (nulle) et l’intensité du courant est, alors, quasi nulle (i_AB = C du_AB / dt).

La constante de temps t d’un dipôle RC est le temps pour lequel la tangente à la date t = 0 coupe l’asymptote horizontale U_AB = 0. Elle caractérise la rapidité de la décharge. On montrera plus loin que t = RC (voir ci-dessous).

II     - DIPÔLE RC – ETUDE THEORIQUE

 
Ce dernier paragraphe est traité sous forme de problème résolu.

ENONCE :

1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.

Le générateur PM possède une f.e.m. E. Sa résistance interne est négligeable.

a) A la date t = 0 s, on relie K à P. Montrer que l’équation différentielle reliant u_AB à t s'écrit :

RC du_AB / dt + u_AB = E ou encore :

t . du_AB / dt + u_AB = E en posant t = RC. (corrigé)

Montrer que, dans le système international d'unités, la constante t s'exprime en seconde.

b) Vérifier que la solution de l'équation différentielle ci-dessus est u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ]. (c)

c) Tracer l'allure de la courbe représentant u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ]. Déterminer littéralement les coordonnées du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe. (c)

d) Calculer la constante de temps du circuit t = RC avec R = 10 kW et C = 0,5 mF.

Calculer la tension u_AB aux dates t₁ = t, t₂ = 5 t et lorsque t devient très grand. (c)

On donne E = 100 V.

e) Calculer, à la date t, l'intensité du courant i = i_AB. (c)

2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.

Le condensateur étant chargé, on relie K à D à la date t = 0 lue sur un nouveau chronomètre.

a) Etablir la nouvelle équation différentielle reliant u_AB à t. (c)

b) Vérifier que la solution est u_AB = Uo exp ( – t / t ). Calculer la tension si t₁ = o, si t₂ = 5 t, si t tend vers l'infini. (c)

SOLUTION :

1- Etude de la charge du condensateur à travers un conducteur ohmique de résistance R.

Le générateur PM possède une f.e.m. E . Sa résistance interne est négligeable. C'est donc un générateur de tension parfait. La tension U_PM à ses bornes ne dépend pas de l'intensité du courant débité : U_PM = E > 0.

a) (énoncé) Etablissons l’équation différentielle reliant u_AB à t.

La loi des tensions (maille PABMP) s’écrit :

u_PA + u_AB + u_BM + u_MP = 0

0 + u_AB + R i_BM – E = 0 (1)

Mais :

i_BM = i_AB = dq_A / dt = C du_AB / dt (2)

Portons (2) dans (1) :

u_AB + RC du_AB / dt = E

Soit, en posant t = RC :

t . duAB / dt + uAB = E (3) avec t = RC

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre constant.

· L'équation différentielle (3) montre que t = RC s'exprime en seconde. En effet, les deux termes du premier membre de l'équation doivent s'exprimer en volt comme le second membre de l'équation. Cela implique que t s'exprime en seconde.

Remarque : L'analyse dimensionnelle permet de retrouver ce résultat. En effet :

· La loi d'Ohm U = R ´ i montre que [ R ] = [ U ] / [ I ]

· La relation i_AB = C du_AB / dt montre que [ C ] = [ I ] [ T ] / [ U ]

On en déduit [ RC ] = [ R ] [ C ] = [ T ]

Le produit t = RC a bien les dimensions d'un temps. Il s'exprime en seconde (unité du système international).

b) (e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (3) t . du_AB / dt + u_AB = E est :

u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] = E - E exp ( - t / t ) (4)

En dérivant par rapport au temps :

du_AB / dt = 0 + ( E / t ) exp ( - t / t ) (4 bis)

Portons les expressions (4) et (4 bis) dans t . du_AB / dt + u_AB = t . ( E / t ) exp ( - t / t ) + E - E exp ( - t / t ). On trouve :

t . du_AB / dt + u_AB = E (3)

L'expression u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] (4) est bien solution de (3) t . du_AB / dt + u_AB = E

c) (e) L'allure de la courbe représentant u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] est donnée ci-dessous (voir le tableau).

· Déterminons les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote à la courbe.

La tangente à l'origine des temps a pour pente (du_AB/dt)₀ = E / t. Son équation est u₁ = ( E / t ) t (5).

· D'après (4) u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ], si t tend vers l'infini alors u_AB tend vers E.

L'asymptote est donc l'horizontale d'équation u₂ = E (6)

· Les coordonnées du point d'intersection H de la tangente à l'origine et de l'asymptote satisfont à :

u_H = ( E / t ) t_H (5 bis) et à u_H = E (6 bis) soit :

uH = E et tH = t = RC (7)

t = RC s'appelle constante de temps du circuit RC.

d) (e) Calculons la constante de temps du circuit t = RC.

Avec R = 10 kW et C = 0,5 mF on calcule t = RC = 10000 ´ 0,5 10 ^{- 6} soit :

t = RC = 5 ´ 10 - 3 s (8)

D'après la relation u_AB = E [ 1 - exp ( - t / t ) ] (4), on voit que :

· Si to = 0 s alors uAB = E [ 1 - exp ( - 0 ) ] = E ( 1 - 1 ) = 0 V (9) · Si t1 = t alors uAB = E [ ( 1 - exp ( - 1 ) ] = 0,63 E = 63 V (10) · Si t2 = 5 t alors uAB = E [ ( 1 - exp ( - 5 ) ] = 0,993 E = 99,3 V (11) · Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers E = 100 V (12)

Retenons qu’au bout d’un temps égal à la constante t = RC la charge a atteint 63 % de sa valeur limite et qu'au bout d'un temps de 5 t, la charge a dépassé 99 pour cent de sa valeur limite.

Remarque : La durée T_1/2 nécessaire pour que u_AB atteigne E est T_1/2 = t . ln 2. Cette durée caractéristique joue un rôle semblable à celui joué par la demi-vie d'une décroissance radioactive (voir la leçon 6).

e) (e) Calculons, à la date t, l'intensité du courant i = i_AB.

L'intensité du courant électrique i = i_AB est donnée par la relation (2) i_AB = dq_A / dt = C du_AB / dt i_AB.

La relation du_AB / dt = ( E / t ) exp ( - t / t ) (4 bis) permet d'écrire :

i_AB = dq_A / dt soit i_AB = C du_AB / dt = C ( E / t ) exp ( - t / t ) = C ( E / RC ) exp ( - t / t )

iAB = (E / R) exp ( - t / t ) (13)

Pour t = 0 l'intensité du courant est maximale (i_o = E/R). Pour t tendant vers l'infini, l'intensité tend vers 0 A.

.2- Etude de la décharge du condensateur à travers la résistance R.

a) (e) Etablissons la nouvelle équation différentielle reliant u_AB à t lors de la décharge.

A la nouvelle date t = o, on bascule l'interrupteur K vers D. Le condensateur initialement chargé va se décharger.

La loi des tensions (maille ABMDA ) s’écrit :

u_AB + R i_BM + 0 + 0 = 0 (14)

Mais :

i_BM = i_AB = dq_A / dt = C . du_AB / dt (2)

Portons la relation (2) dans (14) il vient :

u_AB + RC du_AB / dt = 0

RC du_AB / dt + u_AB = 0

Soit, en posant t = RC :

t . duAB / dt + uAB = 0 (15)

C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, sans second membre.

b) (e) Vérifions que la solution de l'équation différentielle (15) t . du_AB / dt + u_AB = 0 est :

u_AB = Uo exp ( – t / t ) (16) avec, en dérivant par rapport à t :

du_AB / dt = - Uo ( 1 / t ) exp ( - t / t ) (16 bis)

On le vérifie aisément en portant les expressions (16) et (16 bis) dans (15).

D'après la relation u_AB = Uo exp ( – t / t ) (16), on voit que :

· Si t = 0 alors uAB = Uo = E = 100 V (17) · Si t1 = RC = t alors uAB = Uo exp ( - 1) = 100 ´ exp ( - 1) = 36,8 V (18) · Si t2 = 5 t alors uAB = Uo exp ( - 5 ) = E ´ 0,0067 = 0,67 V (19) · Si t tend vers l'infini alors uAB tend vers 0 (20)

Remarque : Si un générateur applique au dipôle R, C une tension "créneaux" de demi période T / 2 supérieure à la constante de temps t = RC alors on observe une succession de charges et de décharges du condensateur.